### [Урок 2. Дискретные распределения вероятностей](https://gb.ru/lessons/447654/homework)

#### Задание 1

Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, выстрелив один раз, равна 0.8. Стрелок выстрелил 100 раз. Найдите вероятность того, что стрелок попадет в цель ровно 85 раз.

> $$ P_n(k)=C^k_n × p^k × q^{n-k}$$

`n = 100`

`p = 0.8`

`q = 1 - 0.8 = 0.2`

`k = 85`

> $P_{100}(85) = C^{85}_{100} × 0.8^{85} × 0.2^{(100-85)}≈0.048$

#### Задание 2

Вероятность того, что лампочка перегорит в течение первого дня эксплуатации, равна 0.0004. В жилом комплексе после ремонта в один день включили 5000 новых лампочек.

- Какова вероятность, что ни одна из них не перегорит в первый день?
- Какова вероятность, что перегорят ровно две?

> $$ P_m≈\frac{\lambda^m}{m!} × e^{-\lambda} $$

`n = 5000`

`p = 0.0004`


> Вычисление параметра $\lambda$

$\lambda=np=5000×0.0004=2$

> Вероятность того, что ни одна лампочка не перегорит в первый день

$P_0 ≈ \frac{2^0}{0!} × e^{-2} = e^{-2} ≈ 0.1353$

> Вероятность того, что перегорят ровно две лампочки

$P_2 ≈ \frac{2^2}{2!} × e^{-2} = 2e^{-2} ≈ 0.2706$

#### Задание 3

Монету подбросили 144 раза. Какова вероятность, что орел выпадет ровно 70 раз?

> $$ P_n(k)=C^k_n × p^k × q^{n-k}$$

`n = 144`

`p = 0.5`

`q = 1 - 0.5 = 0.5`

`k = 70`

> $P_{144}(70) = C^{70}_{144} × 0.5^{70} × 0.5^{(144-70)} ≈ 0.0628$

#### Задание 4

В первом ящике находится 10 мячей, из которых 7 - белые. Во втором ящике - 11 мячей, из которых 9 белых. Из каждого ящика вытаскивают случайным образом по два мяча.

*- Какова вероятность того, что все мячи белые?*

> Вероятность того, что оба мяча из первого ящика белые:

$P$(A=2) $= \frac{C^2_7}{C^2_{10}} = \frac{7}{15}$

> Вероятность того, что оба мяча из второго ящика белые:

$P$(B=2) $=\frac{C^2_9}{C^2_{11}}=\frac{36}{55}​$

> Общая вероятность того, что все мячи белые:

$P$(все белые) $= P(A)×P(B) = \frac{84}{275}$​

*- Какова вероятность того, что ровно два мяча белые?*

Для того чтобы ровно два мяча были белыми, рассмотрим несколько случаев:

>- Два белых мяча из первого ящика и ни одного белого из второго:

$P$(A=2) $= \frac{C^2_7}{C^2_{10}} = \frac{7}{15}​$

$P$(B=0) $= \frac{C^2_2}{C^2_{11}} = \frac{1}{55}​$

$P$(2 белых из первого и 0 из второго) $= \frac{7}{15} × \frac{1}{55} = \frac{21}{2475}$

>- Один белый мяч из первого ящика и один белый мяч из второго.

$P$(A=1) $= \frac{C^1_7  × C^1_3}{C^2_{10}} = \frac{21}{45}​$

$P$(B=1) $= \frac{C^1_9  × C^1_2}{C^2_{11}} = \frac{18}{55}$

$P$(1 белый из первого и 1 из второго) $=P$(A=1) $× P$(B=1) $= \frac{378}{2475}$

>- Ни одного белого мяча из первого ящика и два белых из второго.

$P$(A=0) $=\frac{C^2_3}{C^2_{10}} = \frac{1}{15}​$

$P$(B=2) $=\frac{C^2_9}{C^2_{11}} = \frac{36}{55}$

$P$(0 белых из первого и 2 из второго) $=P$(A=0) $× P$(B=2) $= \frac{36}{825}$

> Общая вероятность:

$P$(ровно 2 белых) $=\frac{21}{2475} +  \frac{378}{2475} + \frac{36}{825} = \frac{169}{825}$

*- Какова вероятность того, что хотя бы один мяч белый?*

Это проще всего вычислить как 1−P(ни одного белого).
Вероятность того, что ни одного белого мяча:

> Ни одного белого мяча из первого ящика:

$P$(A=0) $=\frac{C^2_3}{C^2_{10}} = \frac{1}{15}​$

> Ни одного белого мяча из второго ящика:

$P$(B=0) $=\frac{C^2_2}{C^2_{11}} = \frac{1}{55}​$

> Общая вероятность:

$P$(ни одного белого) $=P$(A=0) $×P$(B=0) $=\frac{1}{825}$

$P$(хотя бы один белый) $= 1−P$(ни одного белого) $=\frac{824}{825}$​
